范数
一句话版
范数 = “量大小的尺子”。 它把一个向量或矩阵，变成一个非负数，表示“有多大/多长”。有了这把尺子，才能谈“谁更近、谁更远、会不会爆炸、要不要缩小一点”。
范数到底在量什么？
想象你有一根箭头（向量）。你想回答：
- 这根箭头有多长？（大小）
- 两个箭头差多远？（距离）
- 一个“变换”（矩阵）会把箭头拉长几倍？（放大/稳定性）
范数就是专门给这些问题用的“统一尺子”。不同范数 = 不同量法，但都要满足几条基本常识： 不为负、只有零的长度是 0、放大几倍长度也跟着几倍、两段合在一起不会比各自长度之和还短（这就是三角不等式的直白版）。
最常用的三把“尺子”（向量）
- L2 范数（最像直线距离）：把每一维的数“平方后累加再开方”。 直觉：平均地看整体大小，大数会被更重地惩罚。
- L1 范数（绝对值相加）：把每一维的“绝对值”都加起来。 直觉：温和地看整体大小，对“少数很大的值”没那么敏感。
- L∞ 范数（最大值）：只看“最大的那一维”。 直觉：最坏分量有多大。
形状直觉（在二维）： L2 的“单位圈”是圆；L1 是菱形；L∞ 是正方形。就是不同的量法。
矩阵怎么量？
- Frobenius 范数：把矩阵当“大号多维数组”，所有元素平方相加再开方。直觉：整体有多大。
- 谱范数（最大奇异值）：表示这个矩阵把向量最多能拉长几倍。直觉：最狠的放大量 → 跟稳定性、数值爆炸相关。
直白的小例子
向量 x = [3, -4]：
- L2：大约 5（你会把它当“长度”）
- L1：7（更“数值相加”的感觉）
- L∞：4（只在意最大的那一维）
**你要哪把尺子？**看你在意什么： 整体平滑 → L2； 对离群点稳一点/想要稀疏 → L1； 只关心最坏的一维 → L∞。
范数正则是啥？为啥要用？
范数正则 = 在训练里给参数大小“上枷锁”。 做法：在损失函数后面 + 一个“范数罚分”。 目的：不让参数（权重）无限做大，防过拟合、更稳、更好泛化。
最常见两种：
1) L2 正则（权重衰减/weight decay）
- 惩罚 “整体都大” 的参数。
- 效果：让权重整体变小、变平滑；通常不把权重推到 0，但会“缩小一圈”。
- 直觉：像给每个参数拴了橡皮筋，拉远了会被拽回来一点。
2) L1 正则（稀疏）
- 惩罚 “有很多非零” 的参数。
- 效果：会把很多小权重直接压到 0 → 稀疏（等于自动做特征选择）。
- 直觉：像扫地，把小的灰尘（小参数）直接清掉。
什么时候用哪种？
- 默认想稳、想平滑：L2。
- 想让模型更简单、特征更少、可解释：L1。
- 有时两者混用（Elastic Net）：既稳又稀疏。
放到训练里怎么理解（超直观）
- 没正则：模型只关心“训练误差最小”，容易记住训练集细节 → 过拟合。
- 加 L2：模型在“误差小”和“参数别太大”之间折中 → 更平滑、不易炸。
- 加 L1：模型在“误差小”和“参数大多为 0”之间折中 → 更简单、很多权重消失。
一句话收尾
- 范数：量大小的不同“尺子”（L2 看整体、L1 看总量且促稀疏、L∞ 看最坏）。
- 范数正则：在训练里给“大小”设约束，防止模型长得又大又复杂，提升稳 健和泛化。
如果你愿意，我可以用你的一小段 PyTorch 代码，现场加一行 L2 或 L1 正则，并打印训练前后参数大小（范数）对比，直觉就更强了。