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第一章：随机事件与概率

第一章其实就讲了一件事：怎么给"运气"打分。

我们把它拆成四个最通俗的场景来看。

场景一：上帝的菜单（样本空间与事件）​

想象你走进一家饭店（这个饭店叫"随机试验"），老板递给你一张菜单。

  • 样本空间 (SS)：就是这张菜单。这上面列出了这家店能做的所有菜（所有可能的结果）。比如菜单上只有：{番茄炒蛋，土豆丝，红烧肉}。
  • 样本点：菜单上的一道菜。
  • 随机事件：你想吃的那一类东西。
    • 比如你想吃"素菜"，那就是{番茄炒蛋，土豆丝}。
    • 比如你想吃"满汉全席"，菜单上没有，这就是不可能事件（概率为0）。
    • 比如你说"只要是菜就行"，那就是必然事件（概率为1）。

所谓"算概率"，就是问：你想吃的菜，占整个菜单的比例是多少？

场景二：不管谁抽都一样（古典概型）​

这是考试送分题，但有个大前提：公平。

想象一个箱子里有红球、白球、黑球。古典概型的核心就是：球没长眼，也没作弊。摸到每一个球的机会是完全均等的。

怎么算？

  • 分子：你想要的球有几个。
  • 分母：箱子里总共有几个球。
  • 工具：这时候就要用到排列组合了。为什么要用它？因为球太多了，一个个手指头数不过来，排列组合就是帮你快速数数的工具。

场景三：如果你有了"小道消息"（条件概率）​

这是第一章最反直觉也最重要的地方。

条件概率 P(A∣B)P(A|B) 其实就是：情报改变看法。

例子​

你想猜你的同桌是不是富二代（事件A）。

  • 情况1：你对他一无所知。他在你眼里就是普通人，概率可能是 1%。
  • 情况2：突然，你看到他开了一辆法拉利来上学（事件B发生了）。
  • 这时候，你再猜他是富二代的概率（P(A∣B)P(A|B)），是不是瞬间飙升到 99%？

为什么？

因为"看到法拉利"这个情报，帮你排除了99%的穷人。你的分母（样本空间）变小了，不再是"全校学生"，而是变成了"全校开法拉利的学生"。

公式的本质：

P(富二代∣开法拉利)=既是富二代又开法拉利的人所有开法拉利的人P(\text{富二代}|\text{开法拉利}) = \frac{\text{既是富二代又开法拉利的人}}{\text{所有开法拉利的人}}

深入理解条件概率公式​

我们用**"圈地盘"的方法来讲。这就好比我们在玩一个"筛选游戏"**。

1. 分母的变化：世界变小了（关键点！）​

分母：所有开法拉利的人\text{所有开法拉利的人}

在没有任何条件的时候，我们的分母是**"全人类"（或者"全校学生"）。但在条件概率里，竖线 ∣| 后面的内容（开法拉利\text{开法拉利}）就是一道过滤网**。

  • 以前的视野：你在大街上闭着眼睛随便抓一个人，他在人群中太渺小了，分母巨大。
  • 现在的视野：你说"我只关心开法拉利的人"。那些骑自行车的、坐公交的、走路的人，统统被你踢出了局。你的世界里只剩下了一小撮人——开法拉利的人群。

2. 分子的锁定：在新世界里找目标​

分子：既是富二代又开法拉利的人\text{既是富二代又开法拉利的人}

现在你的目光已经锁定在那些法拉利车主身上了（分母已定）。接下来，你要在这个小圈子里找谁？你要找富二代。

但这里有个逻辑陷阱：有些富二代很低调，骑共享单车，或者开宝马，他们不在你的"法拉利圈子"里，早就被踢出局了。所以，分子必须是两个圈子的交集。

3. 一个具体的数字例子​

假设全校有 1000 人。

  1. 富二代总共有 100 人。（占比 10%）
  2. 开法拉利的总共有 10 人。
    • 但这 10 个人里，不一定全是富二代。可能有一个是修车师傅在试车，有一个是租车装大款的。
    • 所以，真正既是富二代又开法拉利的，只有 8 人。

现在我们套用公式：

  • 普通的概率（P(富二代)P(\text{富二代})）：在全校随便抓一个，是富二代的概率 = 1001000=10%\frac{100}{1000} = 10\%。
  • 条件概率（P(富二代∣开法拉利)P(\text{富二代}|\text{开法拉利})）：
    • 分母：全校开法拉利的只有 10 人。
    • 分子：这10人里，真富二代有 8 人。
    • 计算：810=80%\frac{8}{10} = 80\%。

总结：本来要在"汪洋大海"（全样本）里捞针，现在条件告诉你针在"小碗"（条件B）里，你只需要算出这根针（交集AB）占这个碗（条件B）多大比例就行了。

场景四：侦探破案（全概率与贝叶斯）​

这两个公式是双胞胎，一个是从前往后推，一个是从后往前推。

想象一个凶杀案现场：

1. 全概率公式（由因推果）​

心态：预测未来。

  • 你是个杀手，你有三种作案手法：下毒（30%用）、刀刺（50%用）、枪击（20%用）。
  • 每种手法的成功率你都知道。
  • 全概率公式问的是：你今天出任务，总体成功的概率是多少？
  • 算法：把每条路算一遍加起来。
(下毒概率×毒死率)+(刀刺概率×捅死率)+(枪击概率×打死率)=总成功率(\text{下毒概率} \times \text{毒死率}) + (\text{刀刺概率} \times \text{捅死率}) + (\text{枪击概率} \times \text{打死率}) = \text{总成功率}

2. 贝叶斯公式（由果溯因）​

心态：福尔摩斯。

  • 现在人已经死了（结果发生了）。
  • 贝叶斯公式问的是：警察想知道，到底是哪种手法干的？
  • 比如：死者身上没有伤口（新情报）。那么"枪击"和"刀刺"的嫌疑瞬间下降，"下毒"的嫌疑瞬间飙升。
  • 贝叶斯就是用来"事后诸葛亮"的，根据结果反推原因的可能性。

深入理解贝叶斯​

贝叶斯公式难懂是因为它反直觉。它其实只讲了一个道理：

当你看到一个新证据时，你该怎么修改你的"老偏见"？

你可以把贝叶斯公式看作一个**"信念更新器"**：

  • P(A) - 老偏见（先验概率）：在没看证据之前，你觉得这事发生的概率有多大？
  • B - 新证据：发生了一件新的事。
  • P(A|B) - 新观点（后验概率）：结合了"老偏见"和"新证据"后的结论。

最通俗的例子：它是狗还是狼？​

想象你在北京三里屯（闹市区）遛弯。突然，前面闪过一个黑影，看起来像一只狼。

如果你不懂贝叶斯，你会想："我看那东西长得像狼，那它肯定是狼！"

但贝叶斯会给你一巴掌，问你两个问题：

第一问：这事儿本来常见的可能性有多大？（先验概率）

老兄，这里是北京三里屯！不是非洲大草原。在这个地方出现狼的概率，本来就无限接近于 0。出现哈士奇（狗）的概率非常高。

结论：不管它长得再像狼，只要是在三里屯，它大概率是只长得像狼的哈士奇。

最反直觉的例子：为什么"神医"也会误诊？​

场景：

  • 有一种罕见病，得病率只有 0.1%（一千个人里只有1个得病）。
  • 医院有个试纸，准确率高达 99%。
  • 现在，你去体检，试纸显示"阳性"（你得病了）。
  • 请问：你真得病的概率是多少？

直觉：试纸99%准确，那我有99%的概率得病了！

贝叶斯：别怕！你真得病的概率其实只有 9% 左右。

为什么？

假设有 1000 个人来体检：

  1. 真病人：只有 1 个（0.1%）。他做测试，99%显示阳性。
  2. 健康人：有 999 个。试纸有 1% 的出错率（假阳性）。999 × 1% ≈ 10 个人被误诊。

医院里拿着"阳性化验单"的人，总共有 11 个（1个真病人 + 10个被误诊的健康人）。

真病人(1人)所有拿阳性单子的人(11人)≈9%\frac{\text{真病人(1人)}}{\text{所有拿阳性单子的人(11人)}} \approx 9\%

贝叶斯就是一句警告：当你听到一个"惊人的消息"（证据），先别急着信。你要看看这事儿在"常理"（先验概率）上讲不讲得通。

还有个大坑：独立 vs 互斥​

这是做判断题最容易翻车的地方：

1. 互斥（Mutually Exclusive）：死对头​

有你没我，有我没你。

例子：扔硬币，正面朝上和反面朝上。出了正面，反面就绝对不可能出。见面就打架。

2. 独立（Independent）：路人甲​

你干你的，我干我的，咱俩互不影响。

例子：我在北京吃包子，你在纽约喝咖啡。我噎住了，会不会影响你被烫到？完全不会。这叫独立。

这一章的精髓（三句话）​

第一句：万物皆可数字化​

——把"我觉得"变成"百分之几"。

第一章教你的第一件事，就是当一名**"翻译官"。它强迫你把生活中的模棱两可，翻译成 00 到 11 之间的精确数字**。

第二句：分母就是"世界观"​

——屁股决定脑袋（位置决定概率）。

所有的概率计算，核心不在分子（你想要什么），而在分母（你在哪个圈子里找）。

  • 你说"考清华很难"，是因为你的分母是全省考生。
  • 但如果你是全省前十名，你的分母变成了**"顶尖学霸圈"**，概率就很高。

精髓：任何概率都是相对的。谁掌握了定义分母的权力，谁就掌握了概率的话语权。

第三句：情报就是力量​

——概率是活的，不是死的（贝叶斯思想）。

  • 初学者认为：硬币抛出去，正面的概率永远是 50%，是死的。
  • 高手知道：概率是随着信息流动的。

贝叶斯公式的灵魂：新的信息会不断修正旧的认知。

总结​

第一章就是教你在信息不完整的情况下，如何理智地"瞎猜"。

  • 什么都不知道？用古典概型猜。
  • 知道了一点情报？用条件概率猜。
  • 知道了结果想猜原因？用贝叶斯猜。