第四章：随机变量的数字特征

如果说前三章是在画**"藏宝图"（给你完整的分布律、密度函数），那么第四章就是扔掉地图，直接给你几个"GPS坐标"**。

这一章的逻辑是："浓缩就是精华"。

现实生活中，老板或客户通常不想听你讲复杂的函数曲线，他们只问两个问题：

1. "这事平均大概赚多少？"（看期望）
2. "这事风险大不大？"（看方差）

---

一、数学期望（Expectation, $E(X)$）

—— 它是"中心"，也是"公道价"

不要只把它当成"平均值"

虽然它和平均值很像，但平均值是事后算出来的（统计），期望是事前算出来的（预测）。

物理意义：重心

如果你把概率分布想象成一根形状不规则的木棍，期望 $E(X)$ 就是你能用一个手指头把这根木棍顶起来的那个平衡点。

通俗理解

你去赌场玩轮盘赌。你赢的概率极低，输的概率极高。

$$E(X) = (\text{赢的�钱} \times \text{小概率}) + (\text{输的钱} \times \text{大概率})$$

算出来结果肯定是负数。这就告诉你：长期玩下去，你必输。

性质：线性

$$E(aX + b) = aE(X) + b$$

大家的工资都乘2再加1000，平均工资自然也是乘2加1000。

计算公式

• 离散型：$E(X) = \sum_i x_i p_i$
• 连续型：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$

---

二、方差（Variance, $D(X)$）

—— 它是"波动"，也是"风险"

核心含义

数据偏离中心的程度。

为什么要有它？

• 射击选手A：打了两枪，一枪10环，一枪0环。平均5环。
• 射击选手B：打了两枪，一枪5环，一枪5环。平均5环。

看期望（平均），两人水平一样。但显然B更稳。方差就是用来描述这个**"稳不稳"**的。

定义公式 vs 计算公式

定义公式（理解用）：

$$D(X) = E\left[ (X - E(X))^2 \right]$$

含义：每个数离平均值有多远，平方一下，再求期望。

计算公式（做题用）：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

口诀：方差 = 平方的期望 - 期望的平方

举例验证两个公式等价

假设三个数：1, 2, 3，平均值 $E(X) = 2$。

方法一（定义法）：

$$\frac{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}$$

方法二（计算法）：

$$E(X^2) = \frac{1+4+9}{3} = \frac{14}{3}$$ $$D(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac{14}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2}{3}$$

结果一样！

标准差（Standard Deviation, $\sigma$）

方差算出来单位是"平方"，开个根号变成标准差，单位就变回去了。

金融圈最爱：股票的波动率其实就是标准差。标准差越大，股票上蹿下跳越厉害，风险就越大。

---

三、协方差与相关系数

—— 它是"默契度"

前两个是自己玩，这个是两个变量 $(X, Y)$ 一起玩。

协方差 $Cov(X, Y)$

含义：看 $X$ 和 $Y$ 是不是同进退。

$$Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)$$

• 正数：你涨我也涨（比如身高和体重）
• 负数：你涨我就跌（比如杀虫剂用量和害虫数量）
• 零：咱俩没啥线性关系

缺陷：它受单位影响太大。身高用"米"算和用"厘米"算，协方差会差100倍。

相关系数 $\rho_{XY}$（主角）

含义：去掉了单位的协方差（标准化了）。

$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}}$$

数值范围：永远在 -1 到 1 之间。

值	含义
$\rho = 1$	完美正相关（像镜子里的你，完全同步）
$\rho = -1$	完美负相关（跷跷板，你上它必下）
$\rho = 0$	不相关

最大的坑：不相关 ≠ 独立

这是考试必考的逻辑陷阱：

• 独立：绝对没关系，路人甲。（$\Rightarrow$ 相关系数一定是0）
• 不相关 ($\rho=0$)：仅仅是**"没有直线关系"**。

例子：$Y = X^2$（抛物线关系）。

$X$ 变了，$Y$ 肯定变（所以它俩不独立，有关系）。但是如果你去算 $\rho$，算出来是 0，因为它们不是"直线"关系。

结论：独立一定不相关，但不相关不一定独立。

---

四、矩（Moments）

—— 更高级的特征

名称	含义
一阶原点矩	期望（描述中心）
二阶中心矩	方差（描述胖瘦）
三阶中心矩	偏度（Skewness）：脸歪没歪
四阶中心矩	峰度（Kurtosis）：头顶尖不尖

---

五、常用分布的期望与方差

分布	期望 $E(X)$	方差 $D(X)$
0-1 分布	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
均匀分布 $U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $E(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

---

六、总结

第四章其实就是给了你一套**"体检报告"**的解读指南：

指标	作用
期望 $E(X)$	看平均水平（是不是潜力股）
方差 $D(X)$	看发挥稳不稳（是不是神经刀）
相关系数 $\rho$	看跟别人的关系（是不是猪队友）

掌握了这三个数，你就掌握了一个随机变量 80% 的脾气秉性，而不需要去研究它复杂的函数图像。