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牛顿法求平方根

牛顿法（Newton's Method）是一种快速逼近函数零点的迭代算法。在求平方根时，它比暴力搜索快得多。

数学原理​

要求 x\sqrt{x}，即求方程 z2−x=0z^2 - x = 0 的解。

牛顿法迭代公式：

zn+1=zn−f(zn)f′(zn)z_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(z_n)}

对于 f(z)=z2−xf(z) = z^2 - x，有 f′(z)=2zf'(z) = 2z，代入得：

zn+1=zn−zn2−x2znz_{n+1} = z_n - \frac{z_n^2 - x}{2z_n}

Go 实现​

package main

import (
    "fmt"
    "math"
)

func Sqrt(x float64) float64 {
    z := 1.0
    for math.Abs(z*z-x) > 1e-10 {  // 误差大于阈值时继续
        z -= (z*z - x) / (2 * z)   // 牛顿法公式
    }
    return z
}

func main() {
    fmt.Println(Sqrt(2))       // 1.4142135623730951
    fmt.Println(math.Sqrt(2))  // 1.4142135623730951
}

关键要点​

1. 循环条件用 > 不是 <​

// ✅ 正确：误差大于阈值时继续迭代
for math.Abs(z*z-x) > 1e-10 {

// ❌ 错误：这会立即停止
for math.Abs(z*z-x) < 1e-10 {

2. 必须取绝对值​

// ✅ 正确：取绝对值
for math.Abs(z*z-x) > 1e-10 {

// ❌ 错误：z² - x 可能是负数
for z*z-x > 1e-10 {

为什么？当 z 逼近正确值时：

  • 如果 z 偏大：z2−x>0z^2 - x > 0
  • 如果 z 偏小：z2−x<0z^2 - x < 0

不取绝对值的话，当 z 偏小时条件永远为 false，循环会提前退出。

逐步迭代过程​

以 2\sqrt{2} 为例：

迭代次数z 值z²误差
初始1.01.01.0
11.52.250.25
21.4166...2.0069...0.0069...
31.4142...2.0000...0.000006...
41.4142135...≈ 2< 1e-10

只需约 4 次迭代就能达到很高精度！

变体实现​

固定迭代次数版本​

func Sqrt(x float64) float64 {
    z := 1.0
    for i := 0; i < 10; i++ {
        z -= (z*z - x) / (2 * z)
    }
    return z
}

更好的初始值​

func Sqrt(x float64) float64 {
    z := x / 2  // 初始值设为 x/2，对大数收敛更快
    for math.Abs(z*z-x) > 1e-10 {
        z -= (z*z - x) / (2 * z)
    }
    return z
}

与标准库对比​

func main() {
    testCases := []float64{2, 9, 100, 0.25, 1e10}

    for _, x := range testCases {
        ours := Sqrt(x)
        std := math.Sqrt(x)
        diff := math.Abs(ours - std)
        fmt.Printf("√%.2f: 我们=%.10f, 标准库=%.10f, 差值=%.2e\n",
            x, ours, std, diff)
    }
}

输出：

√2.00: 我们=1.4142135624, 标准库=1.4142135624, 差值=2.98e-13
√9.00: 我们=3.0000000000, 标准库=3.0000000000, 差值=0.00e+00
√100.00: 我们=10.0000000000, 标准库=10.0000000000, 差值=0.00e+00
√0.25: 我们=0.5000000000, 标准库=0.5000000000, 差值=0.00e+00

边界情况处理​

func Sqrt(x float64) float64 {
    if x < 0 {
        return math.NaN()  // 负数返回 NaN
    }
    if x == 0 {
        return 0
    }

    z := x / 2
    if z == 0 {
        z = 1  // 防止 x 太小导致 z 为 0
    }

    for math.Abs(z*z-x) > 1e-10*x {  // 相对误差
        z -= (z*z - x) / (2 * z)
    }
    return z
}

总结​

要点说明
核心公式z=z−z2−x2zz = z - \frac{z^2 - x}{2z}
循环条件误差大于阈值时继续（用 >）
绝对值必须用 math.Abs()，因为误差可正可负
收敛速度二次收敛，约 4 次迭代达到高精度
初始值z = 1.0 或 z = x/2 都可以

参考​